一元二次方程最大值最小值怎么求(一道初中题-求最小值的问题)

100次浏览     发布时间:2024-11-09 08:51:04    

一道初中题-求最小值的问题

如果a和b都是正实数,并且满足

求1/a+1/b的最小值。

解:方法1-初中解法

对于初中生来说,求一个最小值的问题,最常用的方法就是利用一元二次方程的判别式,使其判别式不小于零,从而求出最小值(或最大值)。

因此要构造一个一元二次方程,最直接的就是设:

1/a+1/b=m, 也就是a+b=mab

而给定的等式可以化为:

因为ab是大于零的数, 约去ab,

如果把ab看成是x, 那么上面的方程就是一个一元二次方程, 根据ab实数有解,其判别式不小于零,

因此判别式

也就是

由此解出:

m的最小值为2√2, 这就是1/a+1/b的最小值。

方法2-高中解法

在高中,有一个常用的不等式就是对于两个正实数a, b, 有算数平均数大于等于几何平均数, 也就是有:

本题会利用这个不等式。将给定的等式左边配方,

然后左右同时除以ab, 原式可以化成:

也就是

上面的右侧就是利用不等式,得出的结果, 因此√

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