三角函数辅助角公式怎么用(三角函数化简)

100次浏览     发布时间:2024-10-29 11:32:43    

这是三角函数最重要的一块,也是考试考的最多的一块,大题必考。

这部分内容首先要背公式。

其实数学作为理科之祖,需要背的公式并不多,高中数学大部分需要背的公式都集中在这里了。

这个章节有很多公式,大家也不是需要全部背过的,只记住我下面列出来这些就足够了,其他未列出来的公式都可以通过列出来这些公式自己推导出来。

1, 两角和与差的三角公式:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

2,二倍角公式:

sin2α=2sinαcosα;

3,辅助角公式:

这里咱们特别说一下辅助角公式。

辅助角公式就是两角和差公式倒过来用,那么我们就要分析分析两角和差公式的特点。

α角与β角都被转变为了sin与cos两部分,这两部分再彼此组合。

因此,当给我们的式子中出现这样的两组组合时,我们就可以使用辅助角公式了。

如果给我们的式子中只出现一组组合时,能不能用辅助角公式呢?

当然可以用,只要我们凑出另一组来就可以了。

怎么凑出另一组来,别忘了三角函数的速效救心丸

只要我们把另一组凑成符合这个关系的就可以了。

怎么凑?

提出它们的平方和开根的数,他们就是一组了。

也就是说,我们可以把它们看成是一个直角三角形的两条直角边,那么只要分别给他们除以斜边长,他们就是sin与cos了。

虽然我们高中的三角函数针对的是角而不是直角三角形了,但是别忘记它在直角三角形里的意义,有时候初中的方法比高中的方法还好用。

当我们凑出来的这一对是我们熟悉的30°、45°或60°角的sin与cos值时,我们就可以直接在后面变化的解析式里写出相应的角度。

当我们凑出来的这一对不是我们知道的某个角的三角函数值时,我们可以用β、γ之类的字母代替这个角,但是千万别忘了在最后给批卷老师解释一下你新加的这个符号的意义。

4,半角公式:

5,正弦定理:

6,余弦定理变形形式:

7,面积公式:

记住这些公式就足够了。

8,化简三原则:

第一,优先边化角

当给我们的式子中既有边又有角时,我们优先把边转化成角。

为什么?

因为关于角的公式比关于边的公式多,我们走路肯定是越走越宽的好,不能闷头往死胡同里扎,大家说对不对。

那么如何边化角呢?

就用正弦定理。

这里要提醒大家一个很容易犯得错误,我们一般边化角的时候,直接把a变成sinA,直接把b变成sinB,直接把c变成sinC,已经养成习惯了。

确实,大部分题可以这么做,但是大家要知道,这么做是跳了步的。

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这才是正确的化法。

我们之所以大部分情况下直接换了也不错,是因为每一项都产生了2R,正好全部约掉了。

所以,大家在换的时候,一定要注意是不是每项都做了这种变换,如果不是,那坚决不能直接换。

当然,还有一种特殊的情况,就是出现了大量的平方项时,我们反过来角化边,去凑余弦定理。

第二,优先化同族

大家会发现,绝大部分公式都是弦之间的互相转化,切之间的互相转化。

因此,当给我们的式子里既有弦又有切的时候,我们优先按照需求给它统成弦或者是切。

用什么统一?

另一个三角函数的速效救心丸:

第三,优先化同角

所有化简题,最终的目标都是凑出辅助角公式,因此需要将角统一化,如果给我们的式子里一倍角、二倍角、半角不统一,那么我们就要把它们先统一了,然后再进行进一步化简。

9,解三角形中根据式子判定三角形形状问题:

(1)a=b,等腰三角形;

(2)若

则三角形为直角三角形

则三角形为钝角三角形

特别注意,若

不能判定三角形为锐角三角形

这个式子只能判定∠C为锐角,但是无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形都会有锐角,所以一个角为锐角不能判定一个三角形是锐角三角形。

除非,∠C是三角形ABC中最大的角,才能判定这个三角形是锐角三角形。

所以,当我们利用勾股定理判定三角形形状时,一定要找最大的角判定。

(3)若

则三角形为直角三角形或等腰三角形,因为只要有一边等于0,最后的结果就是0,因此写等腰直角三角形是错的;

这样的三角形才是等腰直角三角形

(4)若cos2A=cos2B,则该三角形为等腰三角形;

tan2A=tan2B,则该三角形为等腰三角形;

Sin2A=sin2B,该三角形为等腰三角形或直角三角形。

因为第一第二象限角的正弦都是正值,且关于x=π/2对称,所以当∠A=∠B时,sin2A=sin2B成立,当2∠A+2∠B=180°时,也就是∠A+∠B=90°时,sin2A=sin2B也成立。


以上就是三角函数的化简的全部内容了。

到这里,三角函数的相关考点我们就梳理完毕了。

特别提醒,三角函数章节全靠练,一定要多做题,做到看到什么样式的式子就知道该如何向下走就万事大吉了。

下一节,我们讲向量。

相关文章
  • 抽油烟机为什么会异响(抽油烟机有异响怎么办)
    在日常生活中,相信大家都有遇到过抽油烟机有异响的情况。那么问题来了,抽油烟机有异响怎么办?油烟机有异响是什么原因呢?接下来,就让我来为大家简单介绍油烟机的相关知识。抽油烟机有异响怎么办1、轴承运转时有吱吱声,通常是轴承无油造成,此时应拆开轴承,并加适量润滑油;2、若出现唧哩声,通常是润滑油干涸或缺油
    2025-04-01 11:19:25
  • 买房为什么不买14层(为什么买房不要选1、2、4、14、18楼?)
    当我们在选择房屋时,楼层是一个重要的考虑因素。不同的楼层有着不同的优缺点,你是否曾经想过,为什么?我们需要结合个人需求、楼房实际情况和周边环境等多种因素进行综合考虑。在本文中,我们将详细介绍不同楼层的优缺点,帮助你做出明智的选择。首先,让我们来了解一下设备层。设备层是专门用于放置建筑设备的楼层,如电
    2025-04-01 09:39:32
  • 萱草为什么叫忘忧草(你知道为什么萱草花是母亲花?)
    萱草被称为母亲花,有着深刻的文化内涵和历史渊源。下面详细介绍一下萱草花被称为母亲花的原因。传统文化中的萱草花在中国传统文化中,萱草花被视为母亲花,因为它具有很多象征意义。《诗经》中有一首诗叫做《萱草》,其中写道:“萱草花开,母亲健在”,表达了对母亲的思念和祝福。在中国古代的绘画和文学作品中,萱草花也
    2025-04-01 07:20:04
  • 卷柏为什么叫还魂草(生于岩石缝内,人称“还魂草”)
    能够在山上生长的野生植物非常多,我就见过节节草、龙葵、牛筋草、瓦松、苘麻、赶黄草、车前草、凤尾蕨、珍珠草、方儿草、虎咬红、再生草等,有些野生植物还有价值,不仅有观赏价值,还有经济价值,长期以来许多价值较高的植物也受到不同程度的破坏,若花友多认识这些珍贵、稀少的植物,那下次遇到的时候也不会随意去踩踏了
    2025-04-01 05:25:29
  • 生产车间为什么要做防静电处理?
    电子厂在上班期间要做防静电处理,如上班期间工人必须要佩戴防静电手环、防静电鞋、防静电服等,特别是无尘车间,上班的员工都要佩戴。那电子厂为什么要做防静电处理?主要是静电对电子产品有很大的伤害。什么是静电静电(Electrostatic):就是物体表面过剩和不足的静止电荷,静电是一种电能,它留存与物体表
    2025-04-01 02:21:39